Nada

Grudat 2003-11-18

Föreläsning 4: Binära sökträd

Binärträd och allmänna träd

Stack och är två viktiga datastrukturer man kan bygga av objekt, där varje objekt refererar till ett annat objekt.

TRÄD Med två referenser i varje objekt kan man emellertid bygga mer intressanta träd, till exempel ett som beskriver en symfoniorkesters sammansättning.
Här har objekten följande utseende.

   class Node:
     value=""  
     down=None
     right=None
All systematisk uppdelning kan beskrivas med liknande träd, till exempel ett bokverks uppdelning i delar, kapitel, sektioner osv. Man kan också tänka sej det som ett släktträd och då kallas ofta down-referensen för firstChild och rightreferensen för nextSibling. Det är ganska förvånande att det räcker med två referenser i varje objekt, oavsett hur stora barnaskarorna är.

BINÄRTRÄD När man talar om binärträd brukar man tänka på en lite annorlunda bild. Högst upp finns konstigt nog trädets rot och dit har man alltid en referens root.
Antalet nivåer i trädet avgör hur många objekt det kan innehålla. Ett fullt träd med k nivåer innehåller 2 höjt till k objekt minus 1. Exempel: k=3 i vår bild ger högst 7 objekt (det finns plats för två till under 9999). Man kan också säga att ett balanserat träd med N objekt har cirka log N nivåer.

Rekursiva tankar för binärträd

Om man ska skriva ut alla talen i trädet vill man oftast göra det i så kallad inordning (eng. inorder), dvs från vänster till höger.
Fråga: Hur skriver man ut trädet i inordning?
Rekursivt svar: Först skriver man ut vänsterträdet, sedan rottalet, sist högerträdet.
...men ett tomt träd skriver man inte alls.
Följande funktion gör att write(root) skriver ut 1 17 666 4711 9999 för vårt träd.
//Inordning
   def write(p):
     if p is None: return
     write(p.left)
     print p.value
     write(p.right)
Om man kastar om dom tre sista satserna får man ändå ut alla talen på skärmen men i andra ordningar. Preordning (eng. preorder) innebär att rottalet skrivs först, sedan vänsterträdet och sist högerträdet. I vårt exempel blir ordningen 4711   17   1   666   9999.

Om vi återgår till orkesterträdet kan vi se att preordning faktiskt ger vettigare utskrift. Så här blir koden i det fallet.

//Preordning     
   def write(p):
     if p is None: return
     print p.value
     write(p.down)
     write(p.right)
Utskriften blir då den naturliga. Om vi för tydlighets skull använder indragning av orden på lägre nivå blir utskriften
  Orkester              
    Blås
      Trä
      Bleck
    Stråk
      Vi
      Va
      Vc
      Kb
    Slag
(Är det någon som kommer på hur man måste ändra koden för att få just dessa indragningar, så vill jag gärna höra förslaget.)

Slutligen kan man skriva ut i postordning (eng. postorder) och det innebär att vänsterträdet skrivs först, sedan högerträdet och sist roten. Det ger 1   666   17   9999   4711 i vårt exempel.

Binära sökträd

I vårt exempelträd ligger små tal till vänster och stora tal till höger. När det är på det sättet har man ett binärt sökträd, så kallat eftersom det går så snabbt att söka reda på ett objekt i trädet. Låt oss säga att vi söker efter 666. Vår algoritm blir följande Sökningen kan implementeras rekursivt om man låter anropet finns(p,value) returnera True ifall ordet finns i det delträd där p är rot.
def finns(p,value):
    if p is None: return False
    if value==p.value: return True
    if value<p.value: return finns(p.left,value)
    if value>p.value: return finns(p.right,value)
Men den kan också göras utan rekursion. Komplexiteten blir densamma.
def finns(p,value):
    while True:
        if p is None: return False
        if value==p.value: return True
        if value<p.value: p=p.left
        if value>p.value: p=p.right
Det här är ju nästan precis samma sak som binär sökning i en vektor. I båda fallen blir antalet jämförelser cirka log N, men vektorn har två nackdelar.
  1. Insättning av nytt objekt i vektorn kräver att man flyttar i genomsnitt N/2 gamla objekt. I binärträdet flyttar man aldrig noder.
  2. Trädet kan bli hur stort som helst men vektorns storlek ges i dess deklaration (om det är en sammanhängande följd av minnesceller).
Ett problem med binärträd är att dom kan bli obalanserade, och då försvinner den snabba sökningen. Ett riktigt obalanserat sökträd med dom fem talen i exemplet har 1 i roten, 17 till höger, 666 till höger om det osv. Det blir bara en så kallad tarm. I vissa fall har binärträd en tendens att bli obalanserade med tiden, till exempel när nyfödda förs in i ett träd sorterat på personnummer och då alltid hamnar längst till höger. Ett annat problem är att det är mycket svårt att ta bort en nod mitt inne i trädet. Ofta avstår man från det.

Abstrakta sökträd

Nu tänker vi oss att binärträdet har implementerats i en egen fil bintree.py och vi vill använda det som en abstrakt ordlista. För en abstrakt ordlista bör åtminstone tre anrop finnas: exists, put och write.
from bintree import Bintree

wordlist=Bintree()            # Skapar ett trädobjekt
 - - -          
  if wordlist.exists(word):...# Returnerar True om ordet finns i trädet 
  wordlist.put(word)          # Sorterar in ett nytt ord i trädet
  wordlist.write()            # Skriver ut alla ord i bokstavsordning
Endast dessa tre metoder kan anropas utifrån. Men om man vill implementera metoderna rekursivt måste man kunna göra anrop av typen finns(p,value) och därför definierar man ytterligare tre metoder i filen bintree.py, men ovanför klassen Bintree. Den metod som anropas wordlist.exists(word) innehåller bara en sats.
  def exists(self,value):
        return finns(self.root,value)
Den låter alltså finns göra jobbet. Varför kan då inte huvudprogrammet direkt göra anropet if finns(wordlist.root,word)? Det skulle ju strida mot abstraktionen - det är inte meningen att någon utomstående ens ska känna till att det finns en root!

Svårast att implementera är insättningen. Man skulle tro att satsen
putta(self.root,newvalue)
skulle kunna skicka vidare jobbet till en rekursiv metod putta, men det går inte. När trädet är tomt är rotpekaren None, men när den första noden sätts in ska rotpekaren peka på den. Men self.root kan bara ändras inifrån objektet, så därför får man skriva så här.

    def put(self,newvalue):
        self.root=putta(self.root,newvalue)
Anropet till putta returnerar en pekare till det nya trädet och den läggs in i self.root. Men det är bara första gången som tilldelningen behövs. Så här blir principen för putta.
def putta(p,newvalue):
    if p is None:                       # Skapa en ny nod med det nya
      - - -                             # värdet och returnera den
    if newvalue<p.value:                
        p.left=putta(p.left,newvalue)   # Rekursiv inputtning
    elif newvalue>p.value:
        p.right=putta(p.right,newvalue)
    else:                               # Värdet fanns redan i trädet,
      - - -                             # gör felutskrift!
    return p                            # Returnera pekare till det
                                        # modifierade trädet

Sökträd med information

Det är sällan man nöjer sej med att veta att en söknyckel (som kan vara textsträng eller tal) finns i databasen; oftast vill man att sökningen ska ge tillbaka information om det sökta. I varje trädnod måste det då finnas adressen till ett objekt som innehåller informationen.
   class Node:
       key=""              # Det som man sorterar på
       info=None           # Informationen om key
       left=None
       right=None
Sökmetoden getInfo(key) blir likadan som exists men returnerar p.info i stället för True/False.

Vetenskaplighet: Examina och tjänster

Lärare på teknis tillhör nästan alltid en av följande kategorier. Dom står ordnade efter ökande vetenskaplig framgång och, i många fall, avtagande pedagogisk framgång. Att doktorera ska ta fyra år men tar oftast fem år, eftersom doktoranderna brukar undervisa på tjugo procent av sin tid. Drygt halvvägs till doktorsexamen brukar man lissa, dvs skriva en licentiatavhandling och få ut tekn lic-examen. När man disputerat och blivit tekn dr får man sparken. Många söker då forskartjänst och blir forskarassistenter i fyra till sex år. Med flit, talang och lite tur har man då publicerat mera forskning och kan ansöka om att bli docent.

Adjunkt är en ren undervisningstjänst - en lektor ska forska i tjänsten och undervisar kanske åttio procent - en professor leder en forskargrupp och hinner sällan undervisa mer än femtio procent.


Sidansvarig: <henrik@nada.kth.se>
Senast ändrad 24 november 2003
Tekniskt stöd: <webmaster@nada.kth.se>